等比数列求和公式，等比数列的求和公式，等比数列求和公式的推导过程

发布时间：2025-01-08 热度：85

等比数列求和公式，等比数列的求和公式，等比数列求和公式的推导过程

等比数列求和公式是用于计算等比数列前n项和的公式。等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列，这个常数称为公比，通常用字母q表示。等比数列的通项公式为(a_n = a_1 \times q^{n - 1})（其中(a_1)为首项，(n)为项数）。

等比数列求和公式根据公比(q)是否等于(1)分为两种情况：

1. 当(q = 1)时：

• 等比数列的每一项都相等，即(a_n = a_1)，此时前(n)项和(S_n = n \times a_1)。

2. 当(q \neq 1)时：

• 设等比数列({a_n})的首项为(a_1)，公比为(q)（(q \neq 1)），其前(n)项和为(S_n)，则(S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n - 1})  ①。

• 将①式两边同时乘以(q)，得到(qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n)  ②。

• 用②式减去①式，即(qS_n - S_n = a_1q^n - a_1)，化简可得((q - 1)S_n = a_1(q^n - 1))，从而得出(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q})。

• 等比数列前(n)项和公式为(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q})。

• 这个公式可以通过错位相减法推导得出。具体推导过程如下：

此外，对于无穷递缩等比数列（即(|q| < 1)的无穷等比数列），其所有项的和(S)（当(n \to \infty)时）存在，且(S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q})。这是因为当(|q| < 1)时，(q^n \to 0)（(n \to \infty)），所以(S = \frac{a_1}{1 - q})。