一元二次方程求根公式，一元二次方程公式求根公式

发布时间：2025-01-14 热度：220

一元二次方程求根公式，一元二次方程公式求根公式

一元二次方程的求根公式是数学中的一个基本公式，用于求解形如 ( ax^2 + bx + c = 0 )（其中 ( a \neq 0 )）的方程的根。这个公式的推导过程通常使用配方法，具体步骤如下：

1. 将方程化为标准形式： [ ax^2 + bx + c = 0 ]

2. 两边同时除以 ( a )（因为 ( a \neq 0 )）： [ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 ]

3. 移项： [ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} ]

4. 配方： 在等式两边加上一次项系数一半的平方，即 ( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 )： [ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} ]

5. 化简： 左边变为完全平方式 ( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 )，右边通分： [ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} ]

6. 开平方： [ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} ]

7. 求解 ( x )： [ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

8. 最终公式： [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

这个公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

判别式的作用

在一元二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 中，判别式 ( \Delta = b^2 - 4ac ) 可以用来判断方程根的情况：

• 当 ( \Delta > 0 ) 时，方程有两个不相等的实数根。

• 当 ( \Delta = 0 ) 时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）。

• 当 ( \Delta < 0 ) 时，方程没有实数根，但有两个共轭复根。