直线与圆的位置关系，圆与直线的位置关系

发布时间：2025-02-14 热度：119

直线与圆的位置关系，圆与直线的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：相离、相切和相交。以下是详细分析：

一、位置关系的定义

二、判断位置关系的方法

1. 根据圆心到直线的距离(d)与圆半径(r)的关系判断

• 相离：(d > r)

• 相切：(d = r)

• 相交：(d < r)

2. 联立直线方程与圆的方程，通过判别式(\Delta)判断

• 联立直线方程(Ax + By+ C = 0)与圆的方程(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0)，消去(y)（或(x)）得到关于(x)（或(y)）的一元二次方程(ax^{2}+bx + c = 0)（或(ay^{2}+by + c = 0)）。

• 判别式(\Delta=b^{2}-4ac)，当(\Delta>0)时，直线与圆相交；当(\Delta = 0)时，直线与圆相切；当(\Delta<0)时，直线与圆相离。

三、圆的切线相关性质

1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

四、弦长公式

若直线与圆相交于两点(A)、(B)，圆的半径为(r)，圆心(O)到直线(l)的距离为(d)，则弦长(AB = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}})。